Mathématiques - Tour d'horizon de la topologie :

Commençons cet article par une rapide mise au point sur un vocabulaire nécessaire à maîtriser. Un espace, c’est une zone pouvant s’étendre à l’infini où l’on peut faire évoluer le déplacement d’objet. Exemples : Un damier (jeu de dames : carreaux étant alternativement noirs et blancs) est un espace où l’on peut déplacer des pions en diagonal. Dans le jeu d’arcade PAC-MAN, on fait évoluer PAC - un sprite Jaune - à travers divers couloirs formant un labyrinthe. Dans cet exemple, l’espace est dit labyrinthe.

PAC-MAN

Gardons l’exemple de PAC-MAN. Celui-ci peut se déplacer dans l’espace labyrinthe dans strictement deux directions à savoir : à droite puis à l’inverse à gauche, en haut et à l’inverse en bas. En topologie, le nombre de direction est égale au nombre de dimensions. On dira alors que l’espace du labyrinthe de PAC-MAN est en deux dimensions.

Ce que l’on appelle « variété topologique », est un espace dans lequel on peut se déplacer dans le même nombre de direction quelle que soit l’endroit dans un espace. Le monde de PAC-MAN est un espace à deux dimensions et il peut se déplacer dans toutes les directions du labyrinthe quelle que soit sa position : c’est une variété de dimension 2.

Une variété de dimension peut également être à bord. C’est-à-dire que l’espace comporte des zones infranchissables à un sens donné.

En prenant notre exemple de PAC-MAN, dans une certaine situation dans le labyrinthe, celui-ci peut être bloqué dans les coins du labyrinthe qui sont les murs, il a beau avancé dans le sens du mur, sa position ne change pas : on dira que PAC-MAN vit dans une variété à bord, le mur étant le bord.

PAC-MAN

L'homéomorphisme :

Dans le monde de cette petite boule jaune, on trouve également une nuance topologique « renversante ». En effet, celui-ci peut, en empruntant la porte du milieu gauche du labyrinthe, apparaître dans la porte du milieu droit du labyrinthe, il effectue à première vue une téléportation. Cependant, PAC-MAN, à son référentiel (point de vu), ne s’est pas téléporté, il a simplement franchi une porte. Il s’agit là de l’effet produit par un déplacement sur une surface courbée, un cylindre.

PAC-MAN ne se déplace donc pas sur un labyrinthe rectangulaire, mais sur un cylindre. On dira là que le monde de PAC-MAN représenté en borne d’arcade: un labyrinthe rectangulaire, est homéomorphe à un cylindre.

Plus généralement, lorsque l’on dit qu’une surface est « homéomorphe à » une autre, cela signifie qu’il est possible de déformer l’un dans l’autre sans déchirure.

Pour aller plus loin, l’alphabet latin, selon les topologistes, ne possède que huit lettres fondamentalement différentes. Celles qui sont homéomorphes à un segment : C, G, I, Z, J, L, M, N, S, U, V, W; et celles à un cercle : D ou O. Par ailleurs, on peut dire que la lettre D ou W sont des variétés de dimension 1, en effet, on peut se déplacer à travers dans une seule et même direction. Cependant, la lettre T n’est pas une variété car on peut changer de direction une fois un point atteint.

Classification des variétés :

Les variétés dimension 1, aussi appelées courbes, se classent dans un même ensemble. Ici, on y retrouvera : le segment, le segment ouvert, le cercle, le deux segments, la droite. Dans cet ensemble, on y distinguera deux variétés à la fois connexes1 et compactes2.

1connexe : lorsqu’une variété est composée de deux morceaux distincts.
2compact : se dit d’une variété fermée et bornée.

Les variétés de dimension 2, aussi appelées surfaces, se classent dans un même ensemble distinct de celui des variétés de dimension 1. Ici, on y retrouvera : le cylindre, le disque, le plan euclidien (utilisé en géométrie euclidienne), la sphère, le tore, le ruban de Möbius, le Slip de Möbius, la bouteille de Klein, le plan projectif réel, la surface de Dyck.

Un Tore

Les variétés de dimension 3 se classent dans un même ensemble distinct de celui des variétés de dimension 1 et 2. On y retrouvera : la boule, le tore hexagonal, l’espace cubique 1/4 de tour, l’espace dodécaèdre, l’espace torique de Klein, l’espace euclidien tridimensionnel, la trois sphère.

L'univers et la topologie :

Ce rapide tour d’horizon étant fini, je souhaite pour boucler la boucle, aller plus loin dans l’horizon : aller dans l’univers (observable). Quelle est la forme de l’univers ? Voilà une question demandant peu ou prou les connaissances mathématiques colossales d’un topologiste :

Intuitivement, on pourrait dire que l’univers est infini dans toutes les dimensions à la manière d’un plan euclidien tridimensionnel (Plan R3) ce qui lui attribuerait un volume infini. Cependant, il est possible qu’il possède un volume fini et des propriétés dimensionnelles infinies (l’univers ne pouvant pas posséder un mur). Le cosmos serait donc à la fois compact et sans bord, à la manière d’un tore !

Sources :

Article rédigé par Lenny D.