Mathématiques - La formule de Gauss et notre variante :

Cet article propose une explication de la formule de Gauss, dans lequel on expose notre formule, que nous avons élaborée, ayant le même rôle.

Article écrit le 12 juillet 2019 (modifié le 29 décembre 2020) par :

• Lenny D.
• Thomas G.

La formule de Gauss :

L'exemple le plus connu dans le monde des mathématiques d'un enfant prodige, un enfant dont les exploits font partie intégrante de sa biographie, est Carl Friedrich Gauss qui, en 1787, âgé de dix ans seulement, résolut un exercice dit complexe proposé en classe. Son professeur demanda d'additionner les 100 premiers nombres naturels. Gauss présenta son ardoise avec la solution au bout de quelques secondes... Cette célèbre formule de Gauss permet de calculer la somme des nombres entiers inférieurs jusqu'à n.

Gauss comprit qu'en écrivant les nombres ordonnés de 1 à 100 et en les réécrivant en dessous de 100 à 1, il obtenait toujours 101 de l'addition des éléments supérieurs et inférieurs.

Puisqu'il y a 100 éléments additionnés, la somme de ces deux séries de nombres sera 100 × 101, et puisqu'il y a deux sommes, la somme des 100 premiers nombres sera en définitif :

Il s'était aperçu que l'addition du premier chiffre (1) et du dernier (100) donnait la même quantité (101) que celle du deuxième et de l'avant-dernier, le raisonnement peut ainsi se poursuivre : 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = ... = 50 + 51 = 101. Ce qui nous donne 50 pairs de nombres ayant la même somme : 101 et pour produit 5050.

En outre, sous la forme littérale, la somme de tous les entiers inférieurs jusqu'à n est :

La formule de Gauss correspond à une somme de termes d'une suite arithmétique.

Toutefois, lorsqu'il s'agit de nombres négatifs, la formule a l'air de donner des nombres totalement incohérents et ne fonctionne donc pas pour les nombres négatifs. Une solution est présentée à la fin de cet article.

Notre amélioration de la formule de Gauss :

Je précise que nous avons été mené à ce raisonnement sans avoir réellement connaissance de ce qu'était la formule de Gauss.

Introduisons le raisonnement avec un exemple concret.
Faisons la somme des nombres naturels jusqu'à 5 par des additions, cela donne :

Posons la série croissante des nombres jusqu'à 5, sans jamais prendre en compte le chiffre 0 :

Jusque-là, rien de compliqué, la succession d'additions est simple à réaliser mentalement. Essayons cependant de faciliter ce calcul pour obtenir le même résultat. On remarque que :

Sur la série de nombre jusque 5 (sans compter le zéro), on constate que dans notre précédente multiplication, on multiplie la valeur médiane de la série (3) par la dernière valeur de la série (5) pour trouver le résultat (15). Répétons le raisonnement avec ce fait observable sur un autre exemple : on doit là trouver la somme des nombres naturels jusqu'à 11.

On pose la série croissante de nombres jusqu'à 11 :

On remarque :

• Valeur médiane à 6
• Dernière valeur à 11

On pose la succession d'additions :

On utilise la valeur médiane (6) de la série que l'on multiplie par le dernier nombre de la série (11), cela donne :

Répétons une nouvelle fois la démarche pour 30.
Posons la série croissante de nombres jusqu'à 30 :

On remarque :

• Valeur médiane à 15,5
• Dernière valeur à 30

Posons la succession croissante d'additions jusqu'à 30 :

On multiplie la valeur médiane (15,5) par la dernière valeur (30) :

On peut alors conjecturer :

Pour n désignant un nombre entier non nul, la somme de nombres entiers d'une suite arithmétique croissante est égale au produit de la valeur médiane m de cette suite arithmétique jusque n et de n lui-même.

Pour vérifier cette conjecture, on a besoin de formules mathématiques la représentant. Dans ces formules, on fait intervenir la médiane m. Mais comme calculer une médiane ? Commençons avec les nombres impairs et positifs. En temps normal, on sélectionne le nombre qui sépare la série en deux parties égales. Exemple :

On remarque que : 6 = (11 + 1) / 2. La médiane d'un nombre impair et positif m_i est :

Pour obtenir la médiane d'un nombre pair, testons tel que n = 12 :

Donc, la médiane m_p est :

On remarque :

Alors, nous allons désormais appeler m_p la médiane d'un nombre n strictement positif.

Mais ces formules sont-elles valables pour les nombres négatifs ? Testons cela pour -12.

La médiane est donc : -6,5 = (-6 + -7) / 2. Comparons ce résultat avec la formule précédente pour n = -12 :

Ce n'est pas étonnant car on additionne 1 à un nombre négatif, on devrait soustraire. Si on soustrait par -1, alors le résultat est juste (il l'est aussi pour tous les autres nombres). En conséquence, on doit créer une autre formule adaptée aux nombres négatifs. Donc, on a m_n (pour "médiane négative") :

On récapitule :

Par conséquent, nous allons unifier ces deux formules en une seule de la façon suivante :

En conclusion, pour en revenir à notre conjecture, où n est le dernier nombre de la série et s la somme, on dira que :

Par contre, un problème se pose. Si n est négatif, alors la médiane le sera également, et nous aurons donc un produit positif, alors qu'il devrait être négatif. Pour régler ce problème, nous allons utiliser un moyen astucieux :

En d'autres termes :

Exemple 1 :

Pour n = 100.
100 est un nombre positif, on applique donc s₁.

Le résultat est juste.

Exemple 2 :

Pour n = -101.
-101 est négatif, on applique donc s₂ :

Le résultat est également juste.

Démonstration de la conjecture :

Un petit graphique :)

Conclusion :

En ne partant de rien, nous avons trouvé, lors de calculs, une nouvelle formule, au travers des médianes, pouvant supplanter celle de Gauss, étant donné que la nôtre induit une amélioration de celle-ci. En effet, elle permet :

Via :

Pour finir, nous pouvons confirmer la véracité de la propriété conjecturée précédemment :

Pour tout nombre n tel que n ∈ ℤ, la somme des nombres entiers d'une suite arithmétique croissante est égale à la valeur médiane de cette suite arithmétique jusque n multipliée par n lui-même, selon la formule :

Si n < 0, alors on soustrait le produit à 0.

Bien, nous avons une formule pour calculer la somme des entiers inférieurs ou égaux à n, mais qu'en est-il des entiers impairs (cf. somme des entiers impairs) ? La formule pour calculer la somme des entiers pairs sera bientôt disponible, le temps que je retrouve la solution dans mes feuilles de seconde...