Mathématiques - Somme d'une suite arithmétique d'entiers impairs :

Cet article propose une façon de calculer la somme des entiers impairs inférieurs ou égaux jusque n. Cette formule se démarque d'une potentielle autre car elle permet que n soit pair, tout en gardant le bon résultat, et permet également : n ∈ ℤ. De plus, elle est accompagnée d'une démonstration mathématique.

Article écrit le 31 octobre 2019 (modifié le 30 décembre 2020) par :

• Thomas G.

La formule :

Commençons par le constat que j'ai réalisé en faisant mes recherches. On a une suite arithmétique définie de la sorte :

Prenons un nombre n, tel que n = 7, et écrivons la suite des nombres entiers impairs inférieurs ou égaux à n :

On remarque que le résultat de cette somme est égal au carré de la médiane de n notée m_n.
En effet, m_n = 4, et 4² = 16.

J'ai donc réalisé la conjecture suivante, où n ∈ ℕ et où n est impair.

Nous savons que la formule pour calculer la médiane d'un nombre positif, m_p, est :

En outre, selon ma conjecture, on peut dire que :

Toutefois, on peut aller plus loin, et permettre : n ∈ ℤ. En effet, la médiane d'un nombre négatif, m_z, est :

Donc, la médiane m d'un nombre n tel que n ∈ ℤ est :

En conclusion de la conjecture, on a une formule s :

Cependant, cette formule donnera forcément un nombre positif, même si n < 0, alors pour régler ce souci simplement, et sans modifier le bon résultat de la formule, on fait :

En d'autres termes, on a :

Et :

On pourrait tout à fait s'arrêter là, mais on peut aller plus loin. En effet, la formule ne fonctionne pas pour n pair. Par exemple, n = 8, le résultat devrait être égale à n = 7, car tous les nombres entiers impairs inférieurs ou égaux à n, 8, sont les mêmes que pour n = 7. Or, la médiane de 8 est 4,5 et 4,5² = 20,25 :

On pourrait très bien ignorer ce problème, mais il est possible de le contourner. En effet, on remarque que, dans le calcul de la médiane, quand n est pair, si on n'additionnait pas 1 à n alors le résultat serait bon. Pour faire en sorte que, si n est pair, alors on a 0, et que si n est impair, alors on a 1, il faut utiliser le reste de la division euclidienne de n par 2. Pour réaliser ce calcul dans une formule de ce type, on va utiliser l'arithmétique des congruences (mod).

En conclusion, la formule allant avec la conjecture est :

Dans le calcul du reste de la division euclidienne, nous n'avons pas besoin que n soit positif pour déterminer sa parité :

Démonstration

Soit S la somme des entiers impairs inférieurs ou égaux jusque n, tel que n ∈ ℤ et S ∈ ℤ.
Dans un premier temps, je dois prouver :

Ou :

Avec m_n la médiane de n.
Autrement dit :

Donc, pour n positif (s₁) :

Comme √(n²) mod 2 = 1 si n impair.
Par conséquent, on a, pour n impair :

On a prouvé que le carré de la médiane de n est égal s₁, mais seulement pour n impair. Cependant, on sait que la médiane d'un nombre pair est toujours la moitié du nombre. Ainsi, pour n pair :

La médiane m_n d'un nombre n pair est :

Par conséquent :

Bien, la formule créée est correcte pour tout nombre n > 0 (on ne prendra jamais en compte n = 0 car le résultat sera bien entendu 0). Dorénavant, nous devons nous attaquer à s₂. Pour cela, on sait que s₁ est l'opposé de s₂, tel que :

Donc :

Or, cette version de la formule n'est utilisée que lorsque n < 0, alors c'est équivalent à :

En outre, toutes les formules sont prouvées, on a donc ce que l'on voulait au départ :

On a donc prouvé que la formule créée, s, est effectivement égale à la médiane de n au carré, avec n ∈ ℤ. Dorénavant, le plus intéressant. Soit S la somme des entiers impairs jusque n, avec n impair et n > 0. Dans notre conjecture, la médiane au carré de n correspond à cette somme. On pose alors m comme la médiane de n. On a l'équation suivante :

Si on connaît S, alors on peut en déduire n, comme le montre le graphique ci-dessous :

Du haut de mes 16 ans, à l'heure où j'écris ces lignes, je ne me risquerai pas à dire qu'il s'agit là d'une démonstration mathématique infaillible et sûre. Cependant, il s'agit d'un raisonnement simple et, par la seule récurrence du phénomène, on peut supposer que cela est juste. Du moins, j'ose l'espérer.

Conclusion :

En bref, on peut établir clairement notre conjecture :

Soit n un nombre entier naturel, tel que n ∈ ℤ. La somme des entiers impairs inférieurs ou égaux à n jusque n est définie de la sorte :

Pour n > 0 :

Ou pour n < 0 :

, avec p :

dans une formule unifiée appelée s :

Autrement dit, la médiane au carré de n, nommée m_n, est égale à la somme S de la suite arithmétique des entiers impairs inférieurs ou égaux à n :