Une balance affiche cinq fois 10,0 g. La moyenne vaut 10,0 g et l’écart-type de cette petite série est nul. Cela ne transforme pas l’appareil en instrument parfait. Voici une expérience de pensée, avec des données entièrement fictives, pour séparer ce que montrent les répétitions de ce que masque l’affichage.
La question que pose vraiment une série de cinq nombres
Imaginons une balance de démonstration qui affiche la masse au dixième de gramme. On repose cinq fois le même objet et l’on note 10,0 ; 10,0 ; 10,0 ; 10,0 ; 10,0 g. Notre tableau ne contient aucune dispersion visible. Il décrit ce qui a été enregistré dans ces conditions, avec cet affichage et pendant cette courte séquence. Il ne décrit pas toutes les positions possibles de la masse entre deux chiffres affichables. Il ne renseigne pas non plus, à lui seul, sur un éventuel décalage de l’instrument. La bonne question devient : quelles informations sur la mesure n’entrent pas dans ces cinq cases ?
Un affichage ressemble à des casiers
Pour simplifier, supposons un instrument idéal qui arrondit exactement au dixième le plus proche. Dans ce modèle, une valeur située entre 9,95 g et 10,05 g peut être affichée 10,0 g, aux conventions d’arrondi des bornes près. Le même casier accueille donc différentes valeurs. Cette fourchette est celle de notre modèle d’arrondi ; ce n’est pas une promesse sur une balance réelle. Celle-ci peut filtrer ses indications, effectuer une correction interne ou avoir d’autres limites. Un écran stable peut ainsi cacher des différences trop petites pour changer le dernier chiffre. Compter davantage de zéros dans la colonne ne crée pas un chiffre supplémentaire sur l’écran.
Ce que calcule l’écart-type
Dans notre série fictive, chaque indication est égale à la moyenne. Les cinq écarts à la moyenne valent zéro ; leur somme de carrés vaut donc zéro. L’écart-type expérimental calculé sur cette série est exactement nul. Le calcul est correct. C’est son interprétation qui doit rester limitée : une dispersion non résolue n’est pas nécessairement une dispersion physiquement absente. Dire « aucune variation observée au dixième de gramme » raconte ce qui a été vu. Dire « masse connue exactement » ajoute une conclusion que ces données n’apportent pas. Une description utile conserve donc ensemble le nombre de répétitions, la résolution d’affichage et les conditions de manipulation.
Deux voies pour documenter le doute
Le GUM distingue les évaluations de type A, fondées sur une analyse statistique d’observations, et celles de type B, fondées sur d’autres informations. Ce classement porte sur la façon d’évaluer une composante. Dans notre scénario, la répétition fournit une estimation de dispersion, tandis que le pas d’affichage et une information d’étalonnage constituent d’autres entrées. Une seule colonne de chiffres ne remplace donc pas un inventaire des contributions. Pour construire cet inventaire, on peut écrire une ligne pour chaque information, sa provenance, son unité et l’hypothèse retenue. Une ligne vide se signale comme inconnue ; elle ne se remplace pas automatiquement par zéro.
Un calcul d’arrondi que l’on peut refaire
Conservons uniquement le modèle fictif du casier d’arrondi. Sa demi-largeur est a = 0,05 g. Si l’on choisit une répartition uniforme dans ce casier, l’incertitude-type correspondante est a/√3, soit environ 0,0289 g. C’est le résultat de l’hypothèse choisie, pas une propriété universelle des balances. L’essai est intéressant justement parce que l’écart-type des cinq indications valait zéro : une autre information fournit ici une contribution non nulle. Changeons maintenant le pas d’affichage, en gardant tout le reste identique. Avec un pas de 0,01 g, la demi-largeur serait 0,005 g et cette contribution serait divisée par dix. Nous avons modifié une information instrumentale, pas simplement recopié la mesure plus souvent.
Ajouter une seconde information sans la compter deux fois
Ajoutons, uniquement pour cet exercice, une incertitude-type d’étalonnage de 0,020 g. Supposons qu’elle soit indépendante de la contribution d’arrondi et qu’elle ne l’inclue pas déjà. La combinaison quadratique donne alors √(0,0289² + 0,020²), soit environ 0,0351 g. L’arrondi représente environ 67,6 % de la variance totale et l’étalonnage 32,4 %. Ces parts servent à comparer les contributions du modèle. Elles ne disent pas que 67,6 % des mesures seraient fausses. Avant toute addition, il faut vérifier ce que couvre chaque valeur : une spécification globale peut déjà intégrer une partie de ce que l’on s’apprête à ajouter. Notre hypothèse d’absence de double comptage est explicite et doit être vérifiée dans une vraie situation.
Ce que change une meilleure résolution dans cet exemple
Avec une contribution d’arrondi de 0,00289 g et la même contribution d’étalonnage de 0,020 g, le nouveau résultat serait √(0,00289² + 0,020²), soit environ 0,0202 g. La résolution a été améliorée d’un facteur dix, mais l’incertitude composée n’a pas été divisée par dix. La seconde contribution devient dominante. Ce petit scénario aide à choisir la prochaine question : faut-il vraiment ajouter des répétitions, examiner la résolution ou mieux documenter l’étalonnage ? Le meilleur investissement dépend du bilan, et non du nombre de chiffres que l’on souhaiterait afficher dans le résultat final. Les calculs présentés ici sont ceux d’un exercice, sans validation d’un instrument commercial.
Pourquoi recopier la même indication ne suffit pas
On rencontre souvent la formule s/√n pour l’incertitude-type de la moyenne d’observations indépendantes. Le mot indépendantes est essentiel. Recopier cinq fois le même résultat informatique ne réalise pas cinq expériences. Et un décalage commun à toutes les indications n’est pas corrigé par leur moyenne. Dans notre modèle de casier stable, on ne peut pas décider sans justification que l’erreur d’arrondi change indépendamment à chaque nouvelle lecture. Diviser sa contribution par √5 reviendrait à ajouter cette hypothèse. Il faut d’abord expliquer ce qui a réellement changé entre les mesures. Un déplacement de l’objet, une nouvelle mise à zéro ou un nouvel instrument ne constituent d’ailleurs pas forcément le même protocole de répétition.
Un facteur deux n’est pas une étiquette universelle à 95 %
Si l’on multipliait notre incertitude-type composée de 0,0351 g par deux, on obtiendrait environ 0,0702 g. Cette opération définit une incertitude élargie pour le facteur choisi. Elle ne suffit pas à garantir, dans toutes les situations, une couverture de 95 %. La forme de la distribution, le modèle et les informations disponibles comptent. Pour cet exercice, le plus lisible est de présenter les contributions et l’incertitude-type composée, puis de distinguer clairement toute valeur élargie. On évite ainsi qu’un signe ± change de signification au milieu d’un tableau. Le résultat peut être court à lire tout en restant accompagné d’une explication sur ce qui a été calculé.
Une fiche à reconstruire plutôt qu’un résultat à croire
Pour refaire l’exercice, commencez par noter que toutes les valeurs sont fictives. Entrez le pas de 0,1 g comme une information de résolution, avec la convention de demi-largeur correspondant au modèle ; ajoutez séparément 0,020 g déjà exprimé comme incertitude-type, seulement sous nos hypothèses d’indépendance et de non-recouvrement. Puis comparez le scénario où le pas devient 0,01 g. Le calculateur de budget d’incertitude de Découvertes Scientifiques permet de documenter les contributions et d’examiner leurs parts de variance. Je contribue à ce magazine sous le pseudonyme MaloCarnet : il s’agit de notre ressource pédagogique. Le lecteur garde la possibilité de refaire les opérations à la main ; l’outil ne remplace ni la notice de son appareil ni un travail de métrologie adapté à son usage.
Sources et portée de cette expérience de pensée
Références : JCGM 100:2008, Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, sections 4 à 7 et annexe F ; JCGM 200:2012, Vocabulaire international de métrologie, pour les notions de résolution, fidélité et incertitude. Ces documents sont disponibles auprès du BIPM. Les balances, les valeurs numériques et les scénarios de comparaison de cette fiche sont fictifs et créés pour l’explication ; ils ne reproduisent pas un certificat. La distinction à conserver est simple : la répétition décrit une partie des informations disponibles, tandis qu’un budget explicite ce que l’on suppose, ce que l’on sait et ce qu’il reste à établir.
Calculateur de budget d’incertitude de Découvertes Scientifiques